TUGAS 1

IDENTITAS PERKALIAN DAN PENJUMLAHAN / SELISIH SINUS DAN KOSINUS

 IDENTITAS PERKALIAN DAN PENJUMLAHAN / SELISIH SINUS DAN KOSINUS

1. Identitas Perkalian Sinus dan Kosinus

rumus-rumus jumlah dan selisih dua sudut, yaitu:

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β

a. perkalian cosinus dan cosinus 

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β .... (1)

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β .... (2)

Dengan menjumlahkan (1) dan (2), akan                           

memperoleh:

cos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α cos β

cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β .... (1)

b. perkalian sinus dan sinus

cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β .... (2) 

Dengan menjumlahkan (1) dan (2), akan memperoleh 

cos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α cos β 

c. perkalian sinus dan cosinus 

sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β .... (5)

sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β .... (6)

 Dengan menjumlahkan (5) dan (6), diperoleh :

 sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β

 

contoh soal

1. tentukan nilai dari cos 120° sin 60°

jawab : 

    2 cos α sin β = sin (α + β) - sin (α - β)

    cos 120° sin 60° = 1/2 (sin (120 + 60) - sin (120 - 60))

    cos 120° sin 60° = 1/2 (sin 180° - sin 60° = 1/2 (0 - 1/2 √3

                                =  - 1/4 √3

2. tentukan nilai dari 2 sin 15° cos 15°

jawab :

    2 cos α sin β = sin (α + β) - sin (α - β)

    2 sin 15° cos 15° = sin (15 + 15) + sin (15 - 15)

    2 sin 15° cos 15° = sin 30° + sin 0 

                                 = 1/2

 3. tentukan nilai dari –2 sin 15° sin 75° 

jawab : 

    = cos (15 + 75)° – cos (15 – 7 5)°

    = cos 90° – cos (–60)°

    = cos 90° – cos 60°

    = 0  - 1/2)  

    = - 1/2

2. Identitas Penjumlahan dan Pengurangan Sinus dan Cosinus

 

dapat ditulis dalam rumus berikut.

 cos (α + β) + cos (α – β) = 2 cos α cos β .... (9)

cos (α + β) – cos (α – β) = –2 sin α sin β .... (10)

sin (α + β) + sin (α – β) = 2 sin α cos β .... (11)

sin (α + β) – sin (α – β) = 2 cos α sin β .... (12)

a. Rumus Sin Jumlah

Misalkan:

  \[ \alpha = A + B  \]

  \[ \beta = A - B \]

Sehingga,

  \[ \alpha + \beta = 2A \rightarrow A = \frac{1}{2}\left( \alpha + \beta \right) \]

dan

 \[ \alpha - \beta = 2B \rightarrow B = \frac{1}{2}\left( \alpha - \beta \right) \]

Substitusi nilai A, B, α , dan β pada rumus perkalian sinus dan cosinus, sehingga,

  \[ sin \; \alpha + sin \; \beta \;  = 2 \cdot sin \; \frac{1}{2}\left( \alpha + \beta \right) \cdot cos \; \frac{1}{2}\left( \alpha - \beta \right) \]

b. Rumus Sin Selisih

Misalkan:

  \[ \alpha = A + B  \]

  \[ \beta = A - B \]

Sehingga,

  \[ \alpha + \beta = 2A \rightarrow A = \frac{1}{2}\left( \alpha + \beta \right) \]

dan

  \[ \alpha - \beta = 2B \rightarrow B = \frac{1}{2}\left( \alpha - \beta \right) \]

Substitusi nilai A, B, α , dan β pada rumus perkalian sinus dan cosinus, sehingga,

  \[ sin \; \alpha - sin \; \beta = 2 \cdot cos \; \frac{1}{2}\left( \alpha + \beta \right) \cdot sin \; \frac{1}{2}\left( \alpha - \beta \right) \]

c. Rumus Cos Jumlah

Misalkan:

  \[ \alpha = A + B  \]

  \[ \beta = A - B \]

Sehingga,

  \[ \alpha + \beta = 2A \rightarrow A = \frac{1}{2}\left( \alpha + \beta \right) \]

dan

  \[ \alpha - \beta = 2B \rightarrow B = \frac{1}{2}\left( \alpha - \beta \right) \]

Substitusi nilai A, B, α dan β pada rumus perkalian sinus dan cosinus, sehingga,

  \[ cos \; \alpha + cos \beta = 2 \cdot cos \; \frac{1}{2}\left( \alpha + \beta \right) \cdot cos \; \frac{1}{2}\left( \alpha - \beta \right) \]

d. Rumus Cos Selisih

Misalkan:

  \[ \alpha = A + B  \]

  \[ \beta = A - B \]

Sehingga,

  \[ \alpha + \beta = 2A \rightarrow A = \frac{1}{2}\left( \alpha + \beta \right) \]

dan

  \[ \alpha - \beta = 2B \rightarrow B = \frac{1}{2}\left( \alpha - \beta \right) \]

Substitusi nilai A, B,  α, dan β pada rumus perkalian sinus dan cosinus, sehingga,

  \[ cos \; \alpha - cos \; \beta = -2 \cdot sin \; \frac{1}{2}\left( \alpha + \beta \right) \cdot sin \; \frac{1}{2}\left( \alpha - \beta \right)  \]

contoh soal :

Contoh soal 1

Tentukanlah nilai dari 2 sin 52 1
2° sin 7 1
2°

Pembahasan / penyelesaian soal :

Pada soal ini diketahui:

• A = 52 1
  2°
• B = 7 1
  2°

Jadi jawaban soal ini sebagai berikut:

2 sin A sin B = cos (A – B) – cos (A + B)
sin 52 1
2° sin 7 1
2° = 1
2 (cos (52 1
2° – 7 1
2°) – cos (52 1
2° + 71
2°))
sin 521
2° sin 71
2° = 1
2 (cos 90
2° + 120
2°)
sin 52 1
2° sin 7 1
2° = 1
2(cos 45° + cos 60°) = 1
2 (1
2 √ 2   + 1
2) = 1
4 ( √ 2   + 1)

Contoh soal 2

Tentukan nilai dari sin 75° cos 15°.

Pembahasan / penyelesaian soal :

2 sin A cos B = sin (A + B) + sin (A – B)
sin 75° cos 15° = 1
2 (sin (75 + 15) + sin (75 – 15))
sin 75° cos 15° = 1
2 (sin 90° + sin 60°) = 1
2 (1 + 1
2 √ 3   )

Contoh soal 3

Tentukan nilai dari cos 120° sin 60°.

Pembahasan / penyelesaian soal :

2 cos A sin B = sin (A + B) – sin (A – B)
cos 120° sin 60° = 1
2 (sin (120 + 60) – sin (120 – 60))
cos 120° sin 60° = 1
2 (sin 180° – sin 60° = 1
2 (0 – 1
2 √ 3   ) = – 1/4 √ 3